von Neumann 测量

阐述

任何物理量都对应一个 Hermitian 算符。当对一个物理量 $M$ 进行观测时，该物理量对应的算符的本征值 $\lambda_i$ 以及相应的本征态 $|v_i^{(j)}\rangle$ 构成了一组标准正交基。测量的过程对应于将系统投影各个子空间 $S_1,\cdots,S_k$，每个空间的投影算符是

$$\Pi_{i}=\sum_{j=1}^{\ell_{j}}\left|v_{i}^{(j)}\rangle\langle v_{i}^{(j)}\right|$$

它们满足 $\Pi_i\Pi_j=0$，且 $\sum_{i} \Pi_{i}=I$。投影到各个子空间的概率是 $P(i)=\left\langle\psi\left|\Pi_{i}\right| \psi\right\rangle$，且投影后的态是

$$\frac{\Pi_{i}|\psi\rangle}{\left\langle\psi\left|\Pi_{i}\right| \psi\right\rangle^{1 / 2}}$$

这个物理量在这个态上的期望值是 $\langle\psi|M|\psi\rangle$。从测量的角度来说，物理量本身也可以写作

$$M=\sum_i\lambda_i\Pi_i$$

实例

$$M=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$$

它满足

$$\left(\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 1 & 2\end{array}\right)=3\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{rr}\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2}\end{array}\right)=3|+\rangle\langle+|+|-\rangle\langle-| .$$

性质

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参考文献